Потерян или поврежден дверной стикер: поставят ли на учет?

Это зависит от практики конкретного подразделения ГИБДД. В Москве и области в последние годы ставят без проблем, хотя раньше отправляли на экспертизу. Юридически, дверной стикер является информационным, а не идентификационным, а дверь, соответственно, не является номерным агрегатом. Поэтому вы смело можете требовать постановки на учет, а если отказывают — письменного мотивированного отказа. В суде закон будет на вашей стороне. Но до письменного отказа, скорее всего, и не дойдет.